stats-basics#10
信頼区間の95%と区間幅
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信頼区間の95%を反復手順の被覆割合として説明し、標本数・母標準偏差・信頼係数が区間幅を変える仕組みを示します。
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同じ条件で調べ直すと、計算される平均は変わります。その変化を考えて範囲を作る手順では、長く繰り返したとき、その95%が本当の平均を含むように目標を置きます。95%は、目の前の一つの範囲に付く確率ではありません。範囲の幅も、比べる条件と一緒に読む必要があります。
シリーズ内の現在地
Part 3「標本誤差・信頼区間信頼区間は、母集団の平均などの特徴を表す値（母数）を、標本から区間で推定するものです。同じ条件で標本抽出と区間計算を繰り返すと、95%信頼区間では作られた区間の約95%が真の母数を含みます。・検定」の第10回です。前回（stats-09-standard-error）は、標本を取り直すと計算した平均がどの程度変わるかを扱いました。今回は平均を範囲で示す方法とその作り方を扱い、次回（stats-11-hypothesis-testing）は観測結果を基準と比べる判断方法を扱います。
点推定と区間推定
同じ条件で標本を取り直すと、集まる値が変わり、そこから計算する平均も変わります。一つの平均だけを報告すれば計算結果は簡潔ですが、標本の取り直しに伴う変化は見えません。
標本から計算した一つの値を点推定、幅のある範囲で示す方法を区間推定と呼びます。観測値確率変数 X が試行を実行した結果として実際に観測された具体的な数値 x のこと。試行前の「値が定まっていない箱」が X、試行後に箱から出てきた「具体的な数」が x。から決めた手順で作る推定範囲が信頼区間です。
点推定・標準誤差・信頼係数が区間を作る
標本から計算する平均を標本平均と呼び、記号 で表します。母集団全体の値の散らばりを母標準偏差 、標本に含まれる観測の数を とします。同じ条件で標本を取り直したときの標本平均のばらつきを標準誤差標準誤差は、標本を繰り返し抽出したときに統計量がどの程度変動するかを示す尺度です。標準偏差が観測値の散らばりを表すのに対し、標準誤差は統計量の標本分布の散らばりを表します。と呼び、 と書きます。
信頼係数は、区間を作る手順で目標にする被覆割合です。標準正規分布は、平均を0、標準偏差標準偏差は、数値データが平均の周りにどの程度散らばるかを表す尺度で、分散の正の平方根です。分散の分母は、対象データ全体の記述か標本からの推定かによって異なります。を1にそろえた釣鐘形の分布です。分位点は、分布を小さい値から並べたとき、指定された割合の位置にある値を指します。信頼係数に対応する標準正規分布の分位点を とします。95%では、中央の範囲を区切る係数に1.96を使います。記号 は、中心から左右へ同じ距離を取ることを表します。
が区間の中心、 が中心から片側の端までの距離です。この距離を半幅 と呼びます。
信頼係数を高くすると、同じ標準誤差に掛ける分位点が大きくなり、半幅も広がります。
母集団全体の平均を母平均 とします。標本平均は標本を取り直すたびに変わりますが、母平均は固定されています。標本平均が母平均のまわりに正規分布で近似できるとき、標準化した値の中央範囲から母平均を解き直すと、標本平均を中心とした区間になります。
この式の導出を見る
標準化とは、標本平均と母平均の差を標準誤差の単位で測り直すことです。その値を とすると、標本平均を正規分布で近似できる場合、 も標準正規分布で近似できます。
中央95%の範囲では、 はおよそ−1.96から1.96の間にあります。母平均について解き直すと、次の範囲になります。
したがって、母平均を含む範囲は、標本平均を中心に標準誤差の1.96倍だけ左右へ広がります。
観測が互いに左右されず、同じ確率条件から得られることを独立・同一分布といいます。この式の適用にはそれらの条件と、標本平均を正規分布で近似できることが必要です。リターンに強い自己相関（観測間の連動）や裾の厚さ（正規分布の想定以上に極端な値が出る性質）があると、実際の被覆割合は名目値からずれうります。
95%が示す割合
母平均を固定し、同じ条件で標本を取り直し、そのたびに同じ手順で区間を作る反復を考えます。
この反復を続けたとき、できた区間の95%が固定された母平均を含むように手順を設計します。この割合を被覆割合と呼びます。
一つの標本から区間を作った時点では、その区間は固定されています。その区間が母平均を含むかどうかは、含むか含まないかのどちらかです。95%は、その個別区間に付く確率ではなく、同じ手順を繰り返したときの割合です。
図の読み方: 縦線は固定された真の平均です。「含む例」の横線は縦線をまたぎ、「含まない例」は届きません。二つの位置関係を区別して示しています。
区間幅を変える条件
母標準偏差が既知の場合、半幅は信頼係数に対応する分位点、母標準偏差、標本数から決まります。
ほかの条件が同じなら、母標準偏差が大きいほど半幅は広がり、標本数が大きいほど半幅は狭まります。標本数を4倍にすると、平方根は2倍になるため半幅は半分です。
図の読み方: 横軸は信頼係数、縦軸は半幅を標準誤差で割った倍率です。同じ標準誤差に対する3点を比べると、信頼係数が90%、95%、99%と上がるにつれて倍率は1.645、1.96、2.576と大きくなります。
信頼係数と適用条件が異なる区間は、幅だけで精度を比べられません。信頼係数を下げれば区間は狭くなりますが、目標にする被覆割合も下がります。
95%の信頼係数を固定すると、標準誤差の式から標準化した半幅 が得られます。標準化した半幅は、実際の単位を母標準偏差で割った比です。
図の読み方: 横軸は標本数 、縦軸は標準化半幅 です。曲線は95%係数を1.96に固定した を表し、標本数が増えるほど標準化半幅が小さくなります。
標本平均の散らばりを操作して確かめるシミュレーションでは、母集団母集団は、調査や研究で対象とする人・物・出来事の全体です。どの範囲を母集団とするかは問いに応じて定め、そこから一部を取り出したものを標本と呼びます。を一様分布と仮定します。一様分布とは、値が取りうる範囲の中で、同じ幅のどの区間にも同じ確率を割り当てる分布です。
標本数と標本平均のばらつき
操作ヒント母分布と標本サイズ n を選び、「1バッチ引く」で同じ決定的な系列を少しずつ公開します。説明ステージは再生・送り・戻しで確認できます。
読み取れること一様分布の母平均は μ=0.500。次はこの母分布から1つの標本を取り、標本平均を作ります。
- 0.500
- —
- —
- —
- —
図の読み方: 標本数を変え、表示された標本平均の分布を比べます。標本数が増えると分布の広がりが小さくなることを確認できます。
母標準偏差が未知の場合
母標準偏差 が分からない場合は、標本内の散らばりから計算する標本標準偏差 に置き換えます。自由度は標本数 から1を引いた です。係数 はその自由度の 分布の分位点で、両側95%区間では97.5%点を使います。区間は次の形です。
この式では標本平均が中心になり、 が半幅です。
両側95%区間の係数は、（自由度9）で約2.26、（自由度35）で約2.03です。標本数の小さい例の係数が大きく、ほかの条件が同じなら区間は広くなります。
図の読み方: 横軸は標本数、縦軸は95%区間に使う 係数です。点は の約2.26と の約2.03を表し、標本数10の係数が大きいことを比べられます。
この区間は、観測が互いに独立2 つの事象 A, B について、B が起きたという情報を得ても A の確率が変わらない関係。数学的には P(A ∩ B) = P(A) P(B) または同値に P(A|B) = P(A) で定義する。排反性とは正反対の概念。し、母集団の値が正規分布に従うことを前提にします。標本数が十分大きい場合は、母集団が正規分布でなくても近似として使えます。
標本数が十分大きい場合の近似に、一律の数値しきい値は置きません。適用の判断は、標本の条件と母集団の形に基づきます。
標準誤差の式と区間の構成に使う記号は次のとおりです。
金融例で区間を読む
月次リターンを使った次の数値は、計算手順を示すための教育用合成例です。実際の市場観測や運用実績ではありません。全行で母標準偏差を月次4%、標本平均を月次0.9%としています。
36か月・90%
- : 1.645
- 標準誤差（月次）: 約0.667%
- 半幅（月次）: 約1.10%
- 区間（月次）: —
36か月・95%
- : 1.96
- 標準誤差（月次）: 約0.667%
- 半幅（月次）: 約1.31%
- 区間（月次）: 約[−0.41%, +2.21%]
36か月・99%
- : 2.576
- 標準誤差（月次）: 約0.667%
- 半幅（月次）: 約1.72%
- 区間（月次）: —
144か月・95%
- : 1.96
- 標準誤差（月次）: 約0.333%
- 半幅（月次）: 約0.65%
- 区間（月次）: 約[+0.25%, +1.55%]
図の読み方: 36か月の条件どうしでは信頼係数が変わり、半幅は約1.10%から約1.72%へ広がります。95%の条件を比べると、標本数が36か月から144か月に増えたとき、半幅は約1.31%から約0.65%へ小さくなります。信頼係数を変えた比較と、観測数を変えた比較を分けて読むと、幅の差を生んだ条件が分かります。
36か月の95%区間は、表示された標準誤差を使って次のように計算できます。
この区間は0をまたぐため、この観測期間の平均月次リターンが正だと言い切れません。この合成例だけから投資判断や長期の実績は導けません。
次の記事で扱う判断方法
次回は、観測した結果を基準と比べて判断する方法を扱います。
