標準誤差

標準誤差（standard error）は、標本から計算する統計量が標本抽出によってどの程度変動するかを表す尺度です。

定義

標準誤差とは、統計量の標本分布の標準偏差です。同じ条件で標本を繰り返し抽出したとき、標本から計算する統計量や推定量がどの程度ばらつくかを示します。平均に限らず、統計量一般に使われる用語です。[1][2]

標準誤差が表すのは、標本抽出による統計量の変動です。ある一度の推定値と母数との差そのものや、推定量の偏りを表すものではありません。

独立な確率変数の和との関係

独立な確率変数 $X_1,\ldots,X_n$ の和の分散は、それぞれの分散の和です。

これが $n\,\mathrm{Var}(X_1)$ になるのは、各変数の分散がすべて等しい場合です。独立であることだけでは、この等式は導けません。同じ分布から得た確率変数であれば、分散が定義されるとき各変数の分散は等しくなります。[4]

具体例：標本平均

仮想例として、分散 $\sigma^2$ の同じ母集団から、互いに独立な観測値 $X_1,\ldots,X_n$ を得る場合を考えます。標本平均を $\bar{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n$ とすると、その分散は $\sigma^2/n$、標準誤差は $\sigma/\sqrt{n}$ です。[2][4]

母標準偏差 $\sigma$ が未知なら、標本標準偏差 $s$ を使い、標本平均の標準誤差を $s/\sqrt{n}$ と推定します。[2][6] これらは標本平均についての式であり、標準誤差一般の定義ではありません。

標準偏差との違い

標準偏差は、観測値や確率変数の分布における値そのものの散らばりを表します。標準誤差は、統計量の標本分布における統計量の変動を表します。つまり、両者は「どの値のばらつきを測るか」が異なります。[1][5]

この用語を扱う本編記事

• 期待値の線形性が独立性なしで成り立つ理由

詳しくは

• [1] 政府統計の総合窓口 e-Stat『日英統計用語集：「標準誤差」』— 標準誤差の定義と標準偏差との対照。
• [2] 総務省統計局『統計的推定と統計的仮説検定』— 推定量の標準偏差としての定義、標本平均の標準誤差、母標準偏差が未知の場合の推定。
• [3] 経済産業省『用語の解説』— 英語名と、標本を繰り返し抽出したときの統計量の散らばりについての説明。
• [4] ペンシルベニア州立大学 STAT 414『Several Independent Random Variables』— 独立な確率変数の線形結合の分散と、標本平均の分散の導出。
• [5] 米国国立標準技術研究所（NIST）『NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: Glossary』— 標準偏差と標準誤差の区別。
• [6] 総務省統計局『高校からの統計・データサイエンス活用～上級編～』— 標本平均の標準誤差の推定式。