歪度

定義

歪度（skewness）は、分布の左右対称からのずれを表す量です。母集団に対する Pearson の定義では:

平均からの偏差を 3 乗して期待値を取り、標準偏差の 3 乗で割った無次元量です。データから推定するサンプル歪度では $1/n$ で平均する。

• $\gamma_1 > 0$ （正の歪度、右歪み）: 右側に裾が長い分布。例: 所得・資産・住宅価格・株式リターン
• $\gamma_1 = 0$: 左右対称（正規分布など）
• $\gamma_1 < 0$ （負の歪度、左歪み）: 左側に裾が長い分布

性質

• 3 乗が符号を保つ: 偏差を 3 乗するので、$(x_i - \mu) < 0$ の側は負、$> 0$ の側は正のまま和に寄与する。右に大きく外れる点は正の寄与、左に大きく外れる点は負の寄与
• 正規分布で $\gamma_1 = 0$: 左右対称な分布はすべて歪度 0 だが、逆は成立しない（多峰の対称分布も歪度 0）
• 3 乗が外れ値の影響を増幅: 偏差の大きい点が立方で効くため、サンプル歪度は外れ値に敏感

視覚的に見る

平均と標準偏差が同じでも、歪度が違えば分布の形はまったく違います。下図は標準正規分布（青・歪度 0）と、平均 0・分散 1 に揃えた対数正規ベースの右歪み分布（赤・歪度約 +1.5）を重ねたものです。

右歪み（赤）の分布は左側に山があり、右側に長い裾を引いています。同じ平均 0・分散 1 を共有しても、典型的な観測値の位置（最頻値）は左寄り、希少な大きい値が右に長く延びます。所得や資産のように「上位 1% が全体の大きな割合を占める」分布で典型的に観察される形です。

実世界での使われ方

歪度は経済・金融・自然科学の幅広い場面で分布の形を要約する基本指標です。

• 所得・資産分布: 厚労省「国民生活基礎調査」が公表する世帯所得分布は強い正の歪度をもちます。2023 年データでは平均 536 万円・中央値 410 万円で、その差 126 万円が右歪みの大きさを示します。
• 株式リターンの非対称性: 個別株のリターン分布は負の歪度をもつことが多いと報告されています（Albuquerque, Review of Financial Studies 2012）。これは「急激な暴落」が「同じ規模の急騰」より頻繁に発生する非対称性を表し、リスク管理で重要な観察対象。
• 保険損失分布: 自動車保険・地震保険の損失額分布は強い正の歪度を示します。少数の超大型損失（東日本大震災級の地震、大規模火災）が平均を引き上げ、Tail Value at Risk（TVaR）でリスク評価する必要が出てくる根拠になります。
• 企業規模分布: 売上高・従業員数・時価総額は強い正の歪度（Pareto 分布近似）。経済産業省「経済センサス活動調査」では上位 1% の大企業が全体の売上の 4 割以上を占める構造が報告されています。
• 時間統計: ウェブアクセスのレイテンシ、サーバーの応答時間も右歪み。Google の SRE 本では p50（中央値）・p95・p99 を併記して、ユーザー体験のテール側を独立に観察する慣行が標準化されました（Beyer et al., Site Reliability Engineering, O'Reilly 2016）。

深掘り

右歪みで代表値が並ぶ順序

連続型の右歪み分布では、典型的に次の順序が成立します。

平均が右側の高い値（外れ値的な数）に引きずられる一方、中央値は順位で決まるため右にずれにくく、最頻値は分布のピーク位置だから最も左。stats-01 で扱う所得分布の「6 割以上が平均以下」現象は、median と mean のこのギャップから直接出てきます。ただし離散分布や多峰性分布では成立しないケースがあり、Karl Pearson 以降の文献で広く反例が報告されています（von Hippel 2005）。

サンプル歪度の偏り補正

サンプル $x_1, \ldots, x_n$ から推定する素朴な歪度は、$n$ が小さいときに母集団歪度の偏った推定量になります。これを補正した Fisher-Pearson 標準化モーメント係数 が広く使われます。

ここで $s$ はサンプル標準偏差。$n$ が大きければ補正項 $\sqrt{n(n-1)} / (n-2) \to 1$ で素朴な式に戻ります。Excel の SKEW() 関数や Python の scipy.stats.skew(..., bias=False) がこの式を採用しています。

中心化モーメントとの接続

歪度は3 次中心化モーメント $\mu_3 = E[(X - \mu)^3]$ を $\sigma^3$ で標準化した無次元量です。同様に 超過尖度 $\gamma_2 = \mu_4 / \sigma^4 - 3$ は 4 次モーメントを使った量で、裾の重さを測ります。

stats-03 で扱うように、歪度・超過尖度は「データを z スコアに標準化したあとに何乗の平均を取るか」で統一的に整理できます。z 化変換 $z_i = (x_i - \bar{x}) / s$ を使えば、サンプル歪度は

と簡潔に書けます。歪度・尖度はモーメント体系の中で第 3・第 4 標準化モーメントとして位置づけられる、ということです。

重い裾と現代金融

正規分布は歪度 0・超過尖度 0 ですが、金融資産リターンの実証分布は強い負の歪度と正の超過尖度（重い裾）をもつことが Mandelbrot 以降繰り返し報告されています（Mandelbrot, The Variation of Certain Speculative Prices, 1963）。正規分布前提のオプション価格付けモデル（Black-Scholes）が市場の実勢から乖離する根本原因がここにあり、現代のリスク管理は歪度・尖度を明示的に取り込むモデル（Cornish-Fisher 展開、GARCH ファミリー、Lévy 過程）にシフトしてきました。

関連する用語

• 算術平均 — 右歪みで最も右にずれる
• 中央値 — 右歪みでも平均より動きにくい
• 外れ値 — 歪度の大きい分布は外れ値が発生しやすい

詳しくは

• stats-01: 平均値と中央値の使い分け — 右歪みで「6 割以上が平均以下」が普通になる構造