算術平均

定義

算術平均（arithmetic mean）は、データ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ に対して次で定義される代表値です。

ここで重要なのは「全員を等しい重み $1/n$ で扱う」という構造です。$\bar{x}$ は「エックスバー」と読みます。

性質

• 線形性: あるデータ点が $\Delta x$ 増えると、平均は $\Delta x / n$ だけ動く
• 外れ値に弱い: 1 人の極端な値が結果を大きく動かす（中央値 と対比される）
• 右歪み分布では、平均が中央値より右にずれるのが典型（単峰の連続分布でよく成り立つ経験則で、離散分布や多峰分布では逆転する例外もある）
• $L^2$ 最小化点: $\arg\min_m \sum (x_i - m)^2$ がちょうど $\bar{x}$ になる

視覚的に見る

8 人のバイト時給 $(1{,}000,\ 1{,}050,\ 1{,}050,\ 1{,}100,\ 1{,}150,\ 1{,}200,\ 1{,}300,\ 4{,}500)$ で、H さんだけが 4,500 円に飛び出している分布です。平均 1,544 円は、全 8 人の値をそれぞれ重み $1/8 = 0.125$ で按分したものなので、H さんの 4,500 円が $4{,}500 \times 0.125 = 562.5$ 円ぶん平均を持ち上げています。

8人の時給と平均・中央値

データ数 8·外れ値 1·単位 時給（円）

• 平均
• 中央値
• データ点
• 外れ値

平均

1,543.75 円

中央値

1,125 円

人数

8 人

データ一覧

• A1,000
• B1,050
• C1,050
• D1,100
• E1,150
• F1,200
• G1,300
• H4,500

横軸は時給（円）で、縦の位置に数量としての意味はありません。近接する点を上下に分け、8人すべてを表示しています。青い点と赤い外れ値の点が各人の時給、赤い破線が平均 1,544 円、青い実線が中央値 1,125 円。右端に離れた点が H さん（4,500 円）で、平均の破線がデータの密集帯から右へ引かれているのが見て取れる。

中央値 1,125 円とのギャップは 419 円。H さんの値が大きくなるほど、このギャップは線形に拡大します。たとえば H が 45,000 円になると平均は約 6,606 円まで跳ね上がりますが、中央値は H の順位（8 番目）が変わらない限り 1,125 円のままです。

実世界での使われ方

算術平均は「総量を頭割りした基準値」を求めたい場面で使われます。

• GDP・1 人あたり所得: 内閣府「国民経済計算（GDP 統計）」では 1 人あたり名目 GDP が算術平均ベースで公表されています。総額を人口で割るので、上下の偏りには感度が高い指標です。
• 消費者物価指数（CPI）: 総務省統計局「消費者物価指数」は、品目別の価格指数を加重平均（家計支出ウェイト）で集計する変種です。基準時点 100 のラスパイレス指数で算術平均の応用形。
• ポートフォリオの期待リターン: 各銘柄のリターン $r_i$ と保有比率 $w_i$ から $\sum w_i r_i$ で期待リターンを計算します。これは加重平均で、$w_i = 1/n$ なら普通の算術平均と同じ構造。
• 試験の合計点: 高校の中間試験 5 教科の合計点を 5 で割った 平均点は典型的な算術平均。各教科が等しい重みで扱われる前提を共有しています。

公的統計が「平均と中央値の両方を報告する」場合、両者の差そのものが分布の歪みの強度を測ります。

深掘り

期待値・ノルム最小化・3種の平均の関係は L2 以上の視点です。算術平均の定義と外れ値への弱さだけなら不要です。

▶計算発展（L2以上）: 期待値・L²最小化・算術/幾何/調和

期待値としての算術平均

確率変数 $X$ の 期待値 $E[X]$ は連続版・離散版いずれの場合も「重みつき平均」の概念です。$n$ 個のサンプル $x_1, \ldots, x_n$ から計算する算術平均 $\bar{x}$ は、経験分布（各点に確率 $1/n$ を置いた離散分布）の期待値そのもの。$n \to \infty$ で母平均 $\mu = E[X]$ に収束する（大数の法則）という関係が、推測統計の基礎を支えています。

$L^2$ ノルム最小化としての特徴づけ

算術平均は「二乗誤差の和を最小にする 1 点」として等価に定義できます。

$$\bar{x} = \arg\min_{m \in \mathbb{R}} \sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^2$$

この性質は最小二乗法（OLS 回帰、PCA、リッジ回帰など）の基礎になっています。線形回帰の解は「平均が定数項を、共分散が傾きを決める」構造をもち、すべて二乗誤差最小化から導かれます。

算術・幾何・調和平均

平均には他にも幾何平均 $\left(\prod x_i\right)^{1/n}$、調和平均 $n / \sum (1/x_i)$ があり、すべて 正の値に対し 次の不等式（算術-幾何-調和平均不等式）を満たします。

$$\text{調和平均} \le \text{幾何平均} \le \text{算術平均}$$

等号成立は全 $x_i$ が等しいときのみ。複利・成長率の平均 には幾何平均、速度・密度の平均 には調和平均が目的に合います。「平均」と一括りにしないことが、応用での誤用を防ぎます。

関連する用語

• 中央値 — $L^1$ 最小化点。算術平均（$L^2$ 最小化）と対をなす
• 最頻値 — 最も頻度の高い値
• 中心傾向 — 平均・中央値・最頻値を包む上位概念
• 外れ値 — 算術平均が最も弱い対象

詳しくは

• stats-01: 平均値と中央値の使い分け — 外れ値が平均に与える影響を構造的に解説