中心極限定理

中心極限定理（central limit theorem、CLT）は、標本平均などの分布を正規分布で近似する根拠となる定理です。

定義

古典的な中心極限定理では、独立同分布で、共通の平均 $\mu$ と正で有限の分散 $\sigma^2$ をもつ確率変数 $X_1,\ldots,X_n$ について、次の標準化した和の分布が、$n$ の増加とともに標準正規分布 $N(0,1)$ に収束します（筑波大学 OpenCourseWare「Chapter 5 大数の法則と中心極限定理」§5.3）。

この結果から、条件を満たす大きな標本では、標本平均 $\bar{X}_n$ の標本分布を、平均 $\mu$、分散 $\sigma^2/n$ の正規分布で近似できます（NIST「Normal Distribution」）。ここでいう標本分布とは、同じ条件で標本を取り直したときに、標本平均がどのようにばらつくかを表す分布です。定理が述べるのはこの分布の近似であり、母集団の分布や個々の観測値が正規分布になるという意味ではありません。

性質と例

古典的な形では、独立同分布と有限分散が条件です。中心極限定理には異なる条件を用いる拡張もあるため、「どんなデータでも標本数を増やせば正規分布になる」とは言えません。また、近似に十分な標本数は元の分布などによって変わり、一律の境界はありません（Penn State STAT 414「The Central Limit Theorem」§27.1）。

仮想例: 待ち時間が独立同分布で有限の分散をもち、右に歪んだ分布に従うと仮定します。利用者から同じ件数の待ち時間を何度も抽出して平均を計算すると、標本数が大きい場合、その標本平均の分布は正規分布で近似しやすくなります。元の待ち時間の分布そのものが正規分布になるわけではありません。

標準化した標本平均などが標準正規分布で十分近似できるときは、両側の $|z|\ge 1.96$ に対応する確率を約5%、片側の $z\ge 1.96$ に対応する確率を約2.5%と見積もれます。これらは標準正規分布の尾確率であり、中心極限定理は条件を満たす標本統計量にその近似を使う根拠になります（Penn State STAT 462「Population Distributions」）。個々の観測値を標準化しただけでは、その値が標準正規分布に従うとは限りません。

似た用語との違い

• 大数の法則は、標本平均が母平均に近づくことを述べます。中心極限定理は、標本平均のばらつきと、その標準化した分布が近づく先を述べます（筑波大学 OpenCourseWare「Chapter 5 大数の法則と中心極限定理」§5.3、総務省統計局「推測統計」）。
• 標準化／zスコアは値を尺度変換する操作です。中心極限定理は標本平均などの分布に関する定理です。標準化したことだけで、その値の分布が正規分布になるわけではありません。

この用語を扱う本編記事

• 標準化と z スコア

詳しくは

• 筑波大学 OpenCourseWare「Chapter 5 大数の法則と中心極限定理」§5.3、pp. 85–86。古典的な定理の条件、標準化した和の収束、標本平均への帰結を説明しています。
• NIST/SEMATECH『e-Handbook of Statistical Methods』「Normal Distribution」。標本平均の標本分布、中心、標準偏差の近似について説明しています。
• Penn State STAT 462「Population Distributions」。標準正規分布における1.96の片側・両側の尾確率を示しています。
• Penn State STAT 414「The Central Limit Theorem」§27.1。必要な標本数が元の分布の歪度によって変わることを説明しています。
• 総務省統計局「推測統計」。標本平均の標本分布と大数の法則を日本語で解説しています。