平均値と中央値の使い分け

厚生労働省の 2024 年調査では、全世帯の平均所得が 536 万円、中央値が 410 万円。差は 126 万円。さらに、平均所得を下回る世帯は全体の 61.9% を占めています。同じデータから計算した「代表値」がここまでずれ、しかも 6 割以上が平均以下という事実が併存するのは、平均と中央値の計算の仕方も読み方もまったく違うからです。

この記事の主張

平均は値そのものを足し上げます。1 人の極端な値が $\frac{1}{n}$ の重みで結果に寄与します
中央値は順位だけを見ます。順位が変わらない限り値も変わりません
この非対称が、所得分布で「6 割以上が平均以下」を生みます

8 人のバイト時給で見る

大学のゼミで夏休みの時給を集計しました。8 人のデータは次のとおりです。

名前（仮）	時給（円）
A	1,000
B	1,050
C	1,050
D	1,100
E	1,150
F	1,200
G	1,300
H	4,500

H だけ桁が違います。音楽フェスの搬入・撤収スタッフとして 1 日 2 万円の単発仕事を入れた結果、時給換算で 4,500 円。他の 7 人は 1,000〜1,300 円の範囲です。

8 人の平均時給は 1,543.75 円。H を除いた 7 人だけで計算すると 1,121.4 円。差は 422.3 円です。

平均 1,543.75 円は 8 人の誰の実時給とも一致しません。一番近い G でも 1,300 円で、平均からはまだ 243.75 円離れます。残り 7 人の時給は 1,000〜1,300 円の帯にあり、平均だけがその帯の外側にあります。

中央値の計算は手順が違います。8 人を小さい順に並べたとき、4 番目と 5 番目（D の 1,100 円と E の 1,150 円）の平均、1,125 円が中央値です。仮に H の時給が 4,500 円から 45,000 円に変わっても、4 番目と 5 番目のメンバーは入れ替わらないので、中央値は 1,125 円のままです。

平均は H 1 人の数字を全員で按分し、中央値は順位だけを見て真ん中を選びます。同じ「真ん中らしさ」を測る指標でも、外れ値の扱い方が正反対です。

平均は外れ値の 大きさ で決まります。中央値は順位が変わらないかぎり変わりません。

8 人のバイト時給：平均と中央値の位置

データ数 8外れ値 1単位時給（円）

中央値
平均
データ点
外れ値

中央値: 1,125 円
平均: 1,544 円
差: +419 円

データ一覧

A1,000
B1,050
C1,050
D1,100
E1,150
F1,200
G1,300
H4,500

横軸は時給。左の青い 7 点が 1,000〜1,300 円の帯に密集し、右端の赤い点が H（4,500 円）。赤い実線が平均、青い破線が中央値。

横軸が時給。1,000〜1,300 円の帯に 7 点が並び、4,500 円の位置に H が 1 点。赤い実線（平均 1,544 円）は帯の外側で H 側、青い破線（中央値 1,125 円）は 4 番目（D の 1,100 円）と 5 番目（E の 1,150 円）の中間にあります。値の大きさで決まる平均と、順位で決まる中央値の差が、縦線 2 本の位置差として可視化されます。

平均と中央値の数式

平均値

平均値は記号 $\bar{x}$ で表します（「エックスバー」と読みます）。 $x$ の上のバーは、統計学で平均を表す慣例の記号です。

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

$n$ はデータの個数（今回は 8）、 $\dfrac{1}{n}$ は合計を個数で割る操作です。 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i$ は $x_1, x_2, \ldots, x_n$ の総和で、 $n=8$ なら $x_1 + x_2 + \cdots + x_8$ を意味します。

平均は全員を等しい重み $\dfrac{1}{n}$ で扱います。H の 4,500 円も、A の 1,000 円も、計算上は $\dfrac{1}{8}$ ずつ寄与します。

中央値

中央値はデータを小さい順に並べたとき真ん中に位置する値です。本記事では中央値を $\mathrm{median}$ と表記します。

データを小さい順に並べ替えた数列を、改めて $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$ と書き直します。

データ数 $n$ が 奇数のとき、真ん中はちょうど 1 つに決まります。真ん中の順位を整数 $k$ で置けば、

k = \frac{n+1}{2}, \qquad \mathrm{median} = x_k \qquad (n \text{ が奇数})

偶数のとき は真ん中が 2 つに割れるので、その 2 つの平均を取ります。

k = \frac{n}{2}, \qquad \mathrm{median} = \frac{x_k + x_{k+1}}{2} \qquad (n \text{ が偶数})

今回のデータは $n = 8$ で偶数なので、 $k = 4$ 。4 番目（1,100 円）と 5 番目（1,150 円）の平均、1,125 円が中央値です。

最頻値

最頻値は「一番多く出てくる値」です。今回のデータでは 1,050 円が 2 人（B・C）で最頻値です。

ただし最頻値は使いどころを選びます。連続的に値が取れるデータ（身長、時給、株価）では、どの値も 1 回しか出ないケースが多く、最頻値が決まらない・決まっても意味が薄いことが多いです。

最頻値が活きるのは、もともとカテゴリや離散値で構成されたデータです。「血液型で一番多いのは A 型」「アンケートの 5 段階評価で最も多い回答は 4」のような場面では、最頻値が代表値として機能します。

外れ値の影響

H の時給を 10 倍にしたら

H が翌週、別の特殊案件で時給 45,000 円の仕事を得たとします。データの 8 番目だけが 4,500 → 45,000 に変わります。

	元のデータ	外れ値を 10 倍に
H の時給（円）	4,500	45,000
合計（円）	12,350	52,850
平均（円）	1,543.75	6,606.25
中央値（円）	1,125	1,125

平均は 1,543.75 円から 6,606.25 円へ、約 4.3 倍。中央値は 1,125 円のままです。

8 人のうち H の値だけを変えるので、分母は 8 のままです。変化分を式で追うと、

\bar{x}' - \bar{x} = \frac{x_8' - x_8}{n}

プライム記号 '（ダッシュ）は「変化後の値」を表す慣例です。 $x_8$ が元の H の時給、 $x_8'$ が変更後の時給、 $\bar{x}'$ が変更後の平均です。

H の増加分 $x_8' - x_8 = 40,500$ 円が、そのまま 8 で割られて平均に加算されます。10 倍ぶんの増加なら、その 9 倍ぶん（ $9 \times 4{,}500 / 8 = 5{,}062.5$ 円）が平均に加算されます。1,543.75 + 5,062.5 = 6,606.25 円で、表の数字と一致します。

増加量と平均の差は 比例関係（外れ値が 2 倍変われば平均の差も 2 倍、10 倍変われば 10 倍）です。中央値はこの線形性の外側にあります。計算に使うのは 4 番目と 5 番目の値だけなので、H の順位は 8 番目のままで、4,500 円が 45,000 円に変わっても 4 番目の D（1,100 円）と 5 番目の E（1,150 円）は影響を受けません。中央値は 1,125 円のままです。

平均の挙動

値そのものを $\dfrac{1}{n}$ ずつ重みづけして足します。外れ値の変化量 $\Delta x$ がそのまま $\dfrac{1}{n}$ 倍されて結果に加算されます。線形に寄与します。

中央値の挙動

並べ替えたあとの順位だけを見て真ん中を取ります。外れ値が何倍になっても、4・5 番目の値が入れ替わらない限り 1 円も変わりません。

計算外れ値変更後の平均の変化を式で追う

元の合計を $S = \sum_{i=1}^{8} x_i = 12350$ とします。H の値（ $x_8 = 4500$ ）が $x_8' = 45000$ に変わると、新しい合計は次のとおりです。

S' = S - x_8 + x_8' = 12350 - 4500 + 45000 = 52850

新しい平均は次のようになります。

\bar{x}' = \frac{S'}{n} = \frac{52850}{8} = 6606.25

変化量は次のとおりです。

\bar{x}' - \bar{x} = \frac{x_8' - x_8}{n} = \frac{45000 - 4500}{8} = \frac{40500}{8} = 5062.5

外れ値の変化量 $\Delta x = x_8' - x_8$ がそのまま $\frac{1}{n}$ 倍されて平均に加算されます。これが「平均は外れ値に線形に寄与する」という表現の意味です。

右歪み分布での並び

所得・資産・住宅価格・株式リターンは「右歪み」になりやすい量です。ヒストグラムは、値の範囲をいくつかの区間に区切り、各区間にデータがいくつ入るかを縦棒の高さで表した図です。右歪みとは、そのヒストグラムの右側だけが長く伸びている形のことです。

所得・資産・住宅価格のような量は、下方向には大きな限界がある一方、上方向には大きく伸びる余地があります。少数の高収入者が右裾に外れ値として残るため、分布は右側だけが伸びた形になります。

右歪みの連続分布では、典型的に次の順序が成立します（横軸を時給や所得とすれば、左から最頻値・中央値・平均の順）。

\text{最頻値} < \text{中央値} < \text{平均}

最頻値はヒストグラムの山のてっぺんで、もっとも度数が高い値です。中央値は データの個数を左右 50:50 に分割する位置（それより小さい値と大きい値が同じ個数になる境目の値）です。平均は右側の高い値の寄与で右に位置します。右裾が長いほど、3 本の縦線の位置の差は大きく開きます。

分布の歪みと、平均・中央値・最頻値の位置関係

分布左右対称

平均
中央値
最頻値

左右対称（正規分布）では、平均・中央値・最頻値が同じ位置に重なる

平均: 5.00
中央値: 5.00
最頻値: 5.00

上の図で「右歪み」を選ぶと、3 本の縦線（最頻値=緑、中央値=青、平均=赤）が左からその順に並びます。「左右対称」では 3 本が重なります。

ただしこの不等式は普遍的ではありません。von Hippel（2005 年、Journal of Statistics Education）は、離散分布や多峰性の分布では「最頻値 < 中央値 < 平均」が成立しないケースがあることを示しました。本記事が扱う所得・時給のような連続型の右歪みデータでは典型的に成立しますが、「常に成立する」とは言えません。

右歪みデータで中央値が適切な場面

右歪みのデータで「典型的な人・世帯・銘柄はいくらか」を 1 つの数で要約したいなら、平均よりも中央値の方が目的に合います。一方で、期待値や総額が要る場面（保険料の算定、税収の見積もり、ポートフォリオの期待リターン）では平均の方が正しい答えになります。同じデータでも知りたいことが違えば代表値が違います。中央値と平均を並べると、差が大きいほど分布の歪みが大きいと読めます。

厚労省の国民生活基礎調査（2024 年調査・2023 年所得）では、全世帯の平均所得が 536 万円、中央値が 410 万円。さらに、平均所得以下の世帯は全体の 61.9% を占めます。6 割以上が「平均以下」になるのは、少数の高所得世帯が平均に大きく寄与しているからです。「ふつうの世帯の所得」を答えたいなら、中央値 410 万円が数字として近いです。平均 536 万円は上位世帯が平均を 126 万円引き上げた結果です。

ありがちな誤解

「平均より下が 50% で平均より上が 50%」ではありません。それは中央値の定義であって、平均ではありません。所得・資産・株価のような右歪みデータでは、平均より下が 60% 以上 になることが普通です。ニュースで「平均年収 X 万円」と聞いて「自分はそれ以下だから平均以下」と落ち込む必要はありません。中央値が併記されている統計を見れば、世帯の半数が割り込んでいるラインがわかります。

H の時給を変える

下のスライダーで H の時給 を変えると、平均と中央値の反応が確認できます。A〜G の時給は固定（1,000〜1,300 円）です。外れ値追加ボタンで「もう 1 人さらに極端な時給の人（45,000 円）が混じった場合」も試せます。

触って確かめる：外れ値が平均と中央値に与える影響

データ数 8単位時給（円）

平均
中央値
最頻値
データ点

H さんの値4,500円

平均: 1,544 円
中央値: 1,125 円
最頻値: 1,050 円

データ一覧

A1,000
B1,050
C1,050
D1,100
E1,150
F1,200
G1,300
H4,500

スライダーを右にドラッグすると、赤い縦線（平均）は大きく右へ動きます。青い縦線（中央値）はほぼ静止しています。H の時給を 2,000 円まで下げれば平均が 1,200 円台に落ちて中央値とほぼ重なり、10 万円まで上げれば平均は 13,500 円付近、外れ値追加ボタンを押せば 45,000 円が混ざって平均は 6,370 円前後になります。一方、中央値は順位 5 番目の値で決まるため、外れ値の数が増えても 1,125 円のままです。

赤線と青線の離れ具合が、外れ値の歪み度合いの可視化です。所得・株価のデータでも、平均と中央値の距離を見れば外れ値の影響量がわかります。

金融での登場場面

銘柄別リターンの分布

所得分布と並行する構造は、株式市場でも起きます。保有銘柄ごとのリターンを横に並べると、分布は右歪みになりやすいです。少数の銘柄が大幅に上昇する一方で、大多数の銘柄のリターンは中央値に近い水準にあります。保有銘柄の平均リターンが実感より良く見えるときは、右歪みが原因です。中央値リターンと並べると、平均を下回る銘柄がどれだけあるかがわかります。

家計の金融資産

家計の金融資産も右歪みです。預金・株式・債券を合わせた保有額は、下方向には 0 で止まる一方、上方向には大きく伸びる余地があるためです。報道で「世帯あたり金融資産の平均は X 万円」と出るとき、その平均は資産規模の大きい一部の世帯が大きく寄与した数字です。「世帯の半数が持っている金額を知りたい」なら、中央値が答えです。平均は上位層の保有額を込みで按分した数字で、中央値より高く出ます。

ファンドのパフォーマンス評価

ファンドや個別銘柄のパフォーマンス評価では時系列にも右歪みが出ます。年率リターンの平均は、長期で見ると数年の大幅上昇が大きく寄与する一方、中央値のリターンは「半数の年がそれより下、半数の年がそれより上」のラインです。過去 10 年の平均リターンを見るときは、中央値・四分位（25%・75% 点）と並べると、その平均が一部の年に寄与されているかが判別できます。

ポートフォリオ全体の期待リターンを計算する場面では平均が正しい量です。一方、個別銘柄を選ぶ・ファンドを比較する段階では、平均の裏にどれだけ歪みが隠れているかを必ず確認してください。株式・資産・リターンのどの場面でも、何を知りたいかで使うべき代表値が変わるという原則は所得分布と同じです。

結論

平均と中央値の違いは、外れ値への感度の非対称性にあります。平均は値そのものを $\dfrac{1}{n}$ ずつ重みづけして足すので、1 人の極端な値が全体に直接 $\frac{1}{n}$ で寄与します。中央値は順位だけを見て真ん中を取るので、順位が変わらない限り影響を受けません。所得・資産・株価のような右歪み分布で「6 割以上が平均以下」になるのは、この構造から来ます。

「典型的な人」を知りたいなら中央値、「期待値・総額」を知りたいなら平均。同じデータでも、どちらが答えになるかは何を知りたいかで決まります。

次回: 散らばり

次回（stats-02）は散らばりの測り方、分散と標準偏差を扱います。平均・中央値はデータの「典型値」を表しますが、典型値が同じでもデータの形はまったく違うことがあります。10 人全員が 170cm のグループと、150cm から 190cm まで散らばるグループは、平均身長が同じでも分布はまったく違います。その「散らばり」を数値で表す方法が分散です。