代表値 | 用語集 | AlphaInsiders

定義

代表値（measures of central tendency）は、データセットの「中心」を 1 つの数で要約する量の総称です。日本語では「中心傾向の指標」とも訳されます。

代表的な 3 つ:

算術平均: 値そのものを全員で按分（ $L^2$ 最小化点）
中央値: 順位だけを見て真ん中（ $L^1$ 最小化点）
最頻値: 最も多く出現する値（密度のピーク）

3 つは 横並びの 3 択ではなく、目的と分布の形で適切な指標が変わる 関係にあります。

性質

左右対称な単峰分布（正規分布など）では平均・中央値・最頻値が一致する
右歪み分布（所得・株価・住宅価格など）では $\mathrm{mode} < \mathrm{median} < \mathrm{mean}$ の順に並ぶ
左歪み分布（満点に近い試験得点など）では逆順 $\mathrm{mean} < \mathrm{median} < \mathrm{mode}$ に並ぶ
「平均と中央値の差」は分布の歪みの強度を粗く測る指標として実務で使える

視覚的に見る

右歪み分布の代表例として、対数正規分布 $\mathrm{LogNormal}(\mu=0, \sigma=0.7)$ を描いたものです。3 つの代表値が綺麗にずれて並びます。

最頻値はピーク位置（最も多く観測される値）、中央値は左右の確率が 50:50 になる点、平均は確率の重心です。右に長い裾が平均を引っ張るため、3 者は左から mode / median / mean の順に並びます。stats-01 で扱う所得分布の「6 割以上が平均以下」現象は、median と mean のこのギャップが大きい結果です。

実世界での使われ方

「どの代表値で報告するか」は、目的と分布の形によって決まります。公的統計は 複数を併記 することで分布の特性まで伝えるのが標準です。

所得統計: 厚労省「国民生活基礎調査」は平均所得と中央値所得の両方を報告します。2023 年所得では平均 536 万円 vs 中央値 410 万円で、 $126$ 万円のギャップが右歪みの強度を表しています。
住宅市場: 国土交通省「不動産価格指数」は地域別の中央値ベース価格を併記。新築タワーマンションの平均価格は超高額物件に引きずられるため、中央値の方が「普通の人が買える家の価格」に近づきます。
賃金交渉: 業界別賃金交渉では中央値ベースの「春闘相場」が使われます。一部の高額年俸を含む平均ではなく、典型的な賃金水準として中央値が選ばれます。
マーケティング: 顧客の購買額を分析するとき、平均購買単価は超優良顧客 1 人で大きく動きます。「典型的な顧客像」を捉えたい場面では中央値、トータル売上を語る場面では平均。
試験スコア: 順序尺度（5 段階評価）のアンケートでは最頻値が筋。間隔尺度（試験得点）でも分布が偏れば中央値で報告する方が正直です。

深掘り

一般化平均という統一的な見方は L2 以上の視点です。3 つの代表値を使い分けるだけなら不要です。

統一的視点: 一般化平均とロス関数最小化

3 つの代表値は 「何を最小化するか」 で統一的に整理できます。

代表値	最小化する関数	性質
平均	$\sum (x_i - m)^2$ （ $L^2$ ）	外れ値に弱い、微分可能
中央値	$\sum	x_i - m
最頻値	$-\sum \mathbf{1}[x_i = m]$ （ $L^0$ ）	最も鋭い、不連続

最小化する $p$ -ノルム $\sum |x_i - m|^p$ で $p$ を変えると、 $p=2$ で平均、 $p=1$ で中央値、 $p \to 0$ で最頻値という連続的なファミリーとして見えます。これはロバスト統計学の基礎にあたり、 $p$ を 1 と 2 の間に置く「Huber 損失」「LAD 回帰」などの設計に繋がります。

重心としての解釈

物理的に見ると、平均は「データ点を等しい質量とみなしたときの重心」です。中央値は「数直線を真っ二つに割る点」（左半分の質量と右半分の質量が釣り合う点）。最頻値は「密度の最も高い点」。

これは大数の法則・期待値の物理的解釈と直結します。母平均を「観測値の重心」と捉えると、サンプル平均が母平均に収束する大数の法則は「重心が安定する」事実として直感化できます。

多峰性と「代表値の破綻」

3 つの代表値が機能する前提は 単峰性（山が 1 つ）です。多峰性分布（双峰の身長分布、混合ガウシアン）では、平均はどちらの山にも属さない「空白地帯」を指してしまい、中央値も同様。多峰性が疑われる場合は、山ごとに分けて要約する（クラスタリング、混合モデル）方が目的に合います。代表値 1 つに圧縮する操作は、分布が単峰だという暗黙の仮定の上に立っています。

詳しくは

stats-01: 平均値と中央値の使い分け — 同じデータでも目的が違えば代表値が違う構造を、所得分布の実データで

定義

性質