散らばりの測り方

stats-01 で、8 人のバイト時給データから平均 1,543.75 円・中央値 1,125 円を計算しました。ところがこの 2 つの代表値だけでは「全員の時給が似たようなものか、H さんのようなケタ違いが混じっているか」という情報が読み取れません。「平均 1,543 円」という数字は、8 人が 1,400〜1,700 円の狭い帯に収まっていても、H さん 1 人が 4,500 円で突出していても、どちらでも同じ値を返します。この記事ではデータの「広がり」を数値で測る方法を扱います。

stats-01 が「代表値」を扱ったのに対し、本記事は「散らばりの大きさ」が主題です。次回（stats-03）は「分布の形」を扱います。

同じ平均、違う散らばり

配達時間を想像してみましょう。「午後 1 時〜5 時の間に届く」という案内と「午後 2 時 30 分〜3 時 30 分の間に届く」という案内では、どちらが計画を立てやすいでしょうか。受取可能な時間の平均は両方とも午後 3 時ごろです。配達時刻のばらつき方がまったく違います。前者は 4 時間の幅に分布し、後者は 1 時間の幅です。

「平均が同じ」でも「散らばり方が違う」と情報の意味はまったく変わります。

同じ平均・異なる散らばり（配達時刻の例）

データ数 14·単位 配達時刻（時）

• 平均
• 広い散らばり
• 狭い散らばり

赤い縦線は両グループ共通の平均（15 時）です。両群の平均は同じですが、上段は平均から最大 3 時間離れる点があるのに対し、下段は最大 0.5 時間しか離れません。「平均が同じ」だけでは、データの広がりは見えません。測るには別の量が要ります。

---

範囲と四分位

散らばりを測る最も直接的な方法は範囲（レンジ）と四分位範囲（IQR）です。どちらも計算は速いのですが、それぞれに弱点があります。

範囲（レンジ）

最大値から最小値を引いた幅です。バイト時給 8 人のデータでは:

計算は簡単です。ただし H さんの 4,500 円を 45,000 円に変えると範囲は 44,000 円になります。データの両端の 2 点だけで決まるので、外れ値 1 つで大きく変わります。H さんが存在しなければ範囲は 300 円（1,300 − 1,000）です。外れ値に対して範囲は脆弱です。

四分位範囲（IQR）

範囲の弱点を補うのが四分位範囲（IQR: Interquartile Range）です。データを小さい順に並べたとき、下から 25% の位置にある値を 第 1 四分位数（Q1）、75% の位置を 第 3 四分位数（Q3） と呼びます。

バイト時給 8 人の場合、Q1 は下位 4 件の中央値で 1,050 円、Q3 は上位 4 件の中央値で 1,250 円（(1,200+1,300)/2）です。

Q1 と Q3 の計算手順は教科書によって微妙に異なります。本記事では「感覚を掴む」ことを優先して詳細な定義の差異には踏み込みません。IQR が示すのは「真ん中 50% のデータが収まる幅」です。H さんの時給を 10 倍にしても IQR は 200 円のままです。外れ値の影響を受けない点で範囲より強固です。

ただし IQR は真ん中 50% の外側のデータを使いません。上下のばらつきが本当に等しいか、外側がどれだけ伸びているかは IQR からは読み取れません。範囲（脆弱）と IQR（鈍感）の中間で、データ全員の情報を使う指標が 分散 です。

---

なぜ二乗するのか

分散の式は $\frac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^2$ という形をしています。なぜ二乗を選ぶのか、その理由は 3 ステップに分けて見えてきます。

ステップ 1: 偏差をそのまま足したらゼロ

「各データが平均からどのくらいずれているか」を表す量を 偏差（deviation）と呼びます。

「$i$ 番目のデータ」から「平均」を引いた差です。バイト時給 8 人で計算してみましょう。平均は 1,543.75 円です。

これを全部足すと:

H さんの大きなプラスが、残り 7 人の小さなマイナスの合計と相殺されて、ぴったりゼロになります。これは平均の定義から必然的に成り立つ事実です。

▶計算偏差の合計がゼロになることを式で確認する

平均の定義は $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ なので、$\sum x_i = n\bar{x}$ が成り立ちます。

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$$

これは数式の上での必然であり、データが何であっても変わりません。

合計がゼロになるということは、「偏差をそのまま平均しても散らばりの情報が取れない」ということです。プラスとマイナスが打ち消し合う仕組みになっています。

ステップ 2: 絶対値を使うと

打ち消し合いを防ぐ自然な方法として、「絶対値を取る」が浮かびます。絶対値偏差の平均を 平均絶対偏差（MAD: Mean Absolute Deviation） と呼びます。

バイト時給 8 人の各偏差の絶対値を計算すると、A〜G の絶対値の合計は 543.75 + 493.75 × 2 + 443.75 + 393.75 + 343.75 + 243.75 = 2,956.25 円、H の絶対値は 2,956.25 円です。合計 5,912.50 円を 8 で割ると、MAD = 739.0625 円です。

MAD は散らばりを測れます。ただし「散らばりの中心がどこか」という問いへの答えが、絶対値と二乗で変わります。なぜ教科書は二乗を選ぶのでしょうか。

ステップ 3: 二乗を選ぶのは構造的な判断

散らばりの 2 つの測り方を比べると、どちらを使うかで「散らばりの中心」が変わります。

下のグラフは H さんを除いた 7 点のデータ（1,000〜1,300 円）を使います（H さんを含めると放物線が見づらくなるため 7 点で描画しています）。

二乗偏差の和（放物線）

絶対値偏差の和（V字形）

赤線（二乗偏差の和）は 放物線 です。放物線は底が 1 点に決まります。縦軸の値が最も小さくなる点が 1 つしかなく、そこが「二乗和を最小にする基準点 $c$」になります。

青線（絶対値偏差の和）は V字形 です。V字の谷は 1 点というより、中央値のあたりで平坦な区間を持つことがあります。データの個数や分布によっては「どこが底か」が一意に定まらないケースが出てきます。

二乗偏差の和 $\sum(x_i - c)^2$ の最小化点が平均値になることは、中学数学の 平方完成 で確認できます。「二乗和の式を $c$ について整理すると、$c = \bar{x}$ のとき最小値を取る形に書き換えられる」だけの話です。

▶計算平方完成で「最小点 = 平均」を導く（式 3 行）

二乗和の式をそのまま展開します:

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i - c)^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2c \sum_{i=1}^{n} x_i + n c^2$$

$\sum x_i = n\bar{x}$（合計 = 個数 × 平均）を使って $c$ について整理します:

$$= n(c^2 - 2c\bar{x}) + \sum_{i=1}^{n} x_i^2$$

$c^2 - 2c\bar{x} = (c - \bar{x})^2 - \bar{x}^2$ と平方完成します:

$$= n(c - \bar{x})^2 + \left( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2 \right)$$

第 2 項は $c$ に依存しない定数です。第 1 項 $n(c - \bar{x})^2$ は $c = \bar{x}$ のとき 0、それ以外では正です。よって $c = \bar{x}$ で二乗和が最小になります。

一方で、絶対値偏差の和 $\sum|x_i - c|$ を最小化すると、データが奇数個なら最小点は 中央値 に一致します。偶数個では中央 2 点の間のどこを選んでも最小値を取るので、中央値はその最小区間に含まれる代表点として扱います。

---

分散と標準偏差

分散（標本分散、$n$ 割り版）:

記号の意味:

• $s^2$: 分散を表す記号（ラテン文字を使うのは、これが「標本」から計算した量だという統計の慣例）
• $n$: データの個数
• $x_i$: $i$ 番目のデータ
• $\bar{x}$: 平均（stats-01 で導入済み）
• $(x_i - \bar{x})^2$: 偏差の二乗

分散の単位は元のデータの単位の二乗になります。時給（円）から計算した分散は「円²」という単位です。直感的に扱いにくい単位なので、平方根を取って元の単位に戻したものが 標準偏差 です。

$s$ は「各データが平均から典型的にどのくらい離れているか」を元の単位（円）で示します。

なお、$n$ で割る版（標本分散）と $n-1$ で割る版（不偏分散）の 2 種類があります。どちらを使うかは「何を推定したいか」によって変わります。本記事では $n$ 割り版を使い、理由は補足記事（stats-supplement-sample-vs-population-variance）で扱います。

---

計算（バイト時給 8 人）

バイト時給 8 人のデータで分散と標準偏差を手計算します。

データ: A=1,000 / B=1,050 / C=1,050 / D=1,100 / E=1,150 / F=1,200 / G=1,300 / H=4,500（単位: 円）

平均: $\bar{x} = 12350 \div 8 = 1543.75$ 円

偏差と偏差の二乗:

偏差の合計はゼロです（合計行参照）。プラスとマイナスが打ち消し合う限り、偏差をそのまま平均しても散らばりは測れません。

分散:

標準偏差:

標準偏差約 1,121 円は「この 8 人の時給は平均から典型的に 1,121 円程度ずれる」と読めます。H さんを除いた 7 人だけなら標準偏差は約 96 円で、H さん 1 人が加わることで約 11.7 倍になります。

H さんの偏差 +2,956 円は他 7 人の偏差（最大 −544 円）の 約 5.4 倍 です。ところが偏差を 二乗 すると H さん寄与は $2956^2 \approx 8{,}740{,}000$、A さん寄与は $544^2 \approx 296{,}000$ で 約 29 倍 に拡大します。二乗が外れ値の重みをさらに強める仕組みです。標準偏差は最後に平方根を取って戻すので、原寸に戻したように見えても、分散段階で外れ値が強く寄与した事実は消えません。「平均と中央値だけでなく、平均と標準偏差・中央値と IQR をペアで読む」のはこのためです。

---

偏差の可視化

下の図はバイト時給 8 人のデータ点と平均値（赤い縦線）を表示します。各点から平均への水平な距離が「偏差」、その距離の二乗が「二乗偏差」です。

各行が 1 人です。横軸は時給、縦の赤い線が平均（1,544 円）です。点から平均への水平距離が偏差で、A〜G は左側にあるので偏差はマイナス、H だけ右側でプラスです。偏差の線の太さ・濃さは絶対値の大きさに対応し、H さんの線が一番太く濃くなります（平均から最も遠い）。分散は「この距離の二乗を 8 人ぶん平均した量」、標準偏差は最後に平方根を取って単位を円に戻したものです。

偏差を「長さ」で見たので、今度は「面積」で見ます。各点の偏差を一辺とする正方形を描くと、その面積がそのまま偏差の二乗です。下の図で H さんのスライダーを動かすと、正方形が二乗で膨らみ、分散への寄与が跳ね上がるのが分かります。

触って確かめる：外れ値の「二乗」が分散をどれだけ膨らませるか

データ数 8·平均 1,544 円

• 各点の偏差²
• H（外れ値）

H の値4,500円

リセット

分散（偏差²の平均）

1,256,523

標準偏差

1,121 円

H 1 人の二乗寄与

87%

H さん 1 人の二乗寄与は全体の約 87% です。偏差の段階では H さんは他の約 5.4 倍でしたが、二乗（面積）にすると約 29 倍に拡大し、分散のほとんどを 1 人で占めます。

---

金融での登場場面

株式・ポートフォリオのリターンの「ボラティリティ（volatility）」は、リターンの標準偏差です。日次リターンや年次リターンのデータに対して分散と標準偏差を計算し、「このポートフォリオは年率何 % のリターンの振れ幅を持つか」を測ります。S&P 500 の年次リターンの標準偏差は、歴史的に年率 15〜20% 程度で推移しています（NYU Stern Damodaran の 1928 年以降データでは約 18.4%）。株式リターンの計算の仕組みとボラティリティの年換算方法は、stats-practice-stock-return-volatility で扱います。

---

---

次回: 分布の形

次回（stats-03）はデータ全体の形を見ていきます。ヒストグラムの作り方、分布の「歪み（skewness）」と「尖り（kurtosis）」を数値で表す方法を扱います。分散・標準偏差はデータの「広がりの大きさ」を 1 つの数で要約しますが、「分布がどちら側に歪んでいるか」「中心付近が尖っているか平坦か」という形の情報は別の量を使います。