ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布とは、成功確率 $p$ のもとで $X = 1$（成功）または $X = 0$（失敗）を取る確率変数の分布です。$0 < p < 1$ なら $0$ と $1$ の2点に正の確率を持ち、不確実性を持つ分布の最小構成になります。一方、$p = 0$ または $p = 1$ もベルヌーイ分布に含まれ、この両端では結果が1点に確定する退化分布になります。

定義

確率変数 $X$ がベルヌーイ分布に従うとき、候補となる値は $0$ と $1$ で、それぞれの確率は次の通りです。確率が正の値だけをsupport（台）と呼ぶ場合、$0 < p < 1$ ではsupportは2点、$p = 0$ または $p = 1$ ではsupportは1点です。

$p$ を「成功確率」と呼びます。この 2 式を 1 本の式にまとめると、確率質量関数（PMF: probability mass function）は次のように書けます。

$k = 1$ を代入すると $p^1 (1-p)^0 = p$、$k = 0$ を代入すると $p^0 (1-p)^1 = 1 - p$ になり、上の 2 式に戻ります。記号を確認しておきます。$X$ はベルヌーイ確率変数、$p$ は成功確率（$0$ 以上 $1$ 以下の実数）、$k$ は $X$ の取りうる値です。

性質

• 期待値: $E[X] = p$。確率そのものが期待値になります
• 分散: $\mathrm{Var}[X] = p(1-p)$。$p = 1/2$ のとき最大値 $1/4$ を取ります
• 退化する両端: $p = 0$ では $X = 0$、$p = 1$ では $X = 1$ に確率1で固定され、どちらも分散は $0$ です
• 特殊例 $p = 1/2$: 公平なコインに対応します。このとき分散は最大で、結果が最も予測しにくい状態です
• 二項分布との関係: $n$ 個の独立同一ベルヌーイ確率変数の和が二項分布 $B(n, p)$ になります。ベルヌーイ分布は $n = 1$ の二項分布です
• 不確実性を持つ分布の中で最小の構造: $0 < p < 1$ のベルヌーイ分布は2点に正の確率を持ち、分散も正です。端点 $p = 0, 1$ ではベルヌーイ分布自身が1点supportの退化分布になります。確率の合計は常に $p + (1-p) = 1$ です

視覚的に見る

$p = 0.3$ のベルヌーイ分布の確率質量を 2 本の縦棒で示します。横軸は $k \in \{0, 1\}$、縦軸は各値の確率です。

図を見て把握すべきことは 2 つです。第一に、ベルヌーイ分布の確率質量は 2 本の棒だけです。連続分布（正規分布など）が曲線で表されるのに対し、ベルヌーイ分布は $k = 0$ と $k = 1$ の 2 点にしか確率が乗りません。第二に、期待値 $E[X] = p = 0.3$ の縦線（青）は $0$ と $1$ の間に位置しますが、$X$ はこの値を取りません。期待値は「分布の重心」であって、実際に起こる値ではない点に注意が必要です。$p$ を $0.1$ や $0.9$ に変えると、それぞれ左の棒が高くなる・右の棒が高くなるという変化が起き、期待値の縦線はその位置に追従します。

実世界での使われ方

臨床試験の主要評価項目では、患者ごとに「奏効した（$X = 1$）」「奏効しなかった（$X = 0$）」の 2 値を記録します。厚生労働省「医薬品の臨床試験の実施に関する基準（GCP 省令）」が定めるエンドポイントでは、各患者の応答がベルヌーイ確率変数 $X_i$ です。$n$ 名の合計 $\sum X_i$ は二項分布 $B(n, p)$ に従い、奏効率の信頼区間の導出に使われます。

Web 広告・サイト改修の A/B テストでは、訪問者 1 人ごとに「クリックした（$X = 1$）」「しなかった（$X = 0$）」を記録します。総務省「令和 5 年 通信利用動向調査」が集計するような Web 利用統計は、ベルヌーイ試行の累積として扱えます。クリック率の推定精度はサンプル数 $n$ と成功確率 $p$ の関数で決まり、$p(1-p)/n$ が分散の縮小速度を与えます。

金融のデフォルト評価では、企業 1 社の 1 年後の状態を「デフォルトした（$X = 1$）」「しなかった（$X = 0$）」で記号化します。日本銀行「金融システムレポート」が用いる信用リスク評価では、企業ごとのデフォルト指示変数 $I_{\text{default}}$ がベルヌーイ確率変数です。ポートフォリオ全体の損失分布は $\sum I_{\text{default},\, i}$ の分布として近似され、個々の $X_i$ のパラメータ $p$ がデフォルト確率（PD: probability of default）に対応します。

深掘り

指示変数としての見方は他分野とのつながりを示す発展で、定義を理解するだけなら不要です。

指示変数としてのベルヌーイ確率変数

任意の事象 $A$ に対し、指示変数（indicator variable）$I_A$ を次のように定義します。

$I_A$ はパラメータ $p = P(A)$ のベルヌーイ確率変数です。ここから $E[I_A] = P(A)$ という等式が直ちに出ます。「期待値は確率の一般化」という発想の起点です。この見方は実用的で、例えば「事象 $A$ と $B$ が排反でないとき $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$」という包除公式は、$I_{A \cup B} = I_A + I_B - I_{A \cap B}$ の両辺の期待値を取る操作として書き直せます。指示変数を経由すると、確率の計算が期待値の計算に統一されます。

二項分布の構成要素としての位置

$n$ 個の独立同一分布（i.i.d.）なベルヌーイ確率変数 $X_1, \ldots, X_n$ の和

は二項分布 $B(n, p)$ に従います。i.i.d. の「独立（i）」と「同一分布（i.d.）」の 2 つの仮定は、モーメントの計算で異なる役割を果たします。期待値の線形性は独立性を必要とせず、$E[S_n] = n E[X_1] = np$ が出ます。一方、分散の加法性 $\mathrm{Var}[S_n] = n \mathrm{Var}[X_1] = np(1-p)$ には独立性が必要です。「i.d.」は各 $X_i$ が同じ $p$ を持つという条件で、$E[S_n]$ の計算で $E[X_1]$ を $n$ 倍できる根拠になります。stats-06 節 6 で扱った「二項分布の期待値が 2 行で出る」という結果の背後にある構造です。

$p = 1/2$ で分散が最大になる理由

$\mathrm{Var}[X] = p(1-p)$ を $p$ について微分すると $1 - 2p$ です。$p = 1/2$ で微分がゼロになり、最大値 $1/4$ を取ります。この最大性は「コインが公平なときに結果が最も予測しにくい」という直感に対応します。

情報理論の言葉では、この直感をエントロピー

として定式化できます。$H(X)$ も $p = 1/2$ で最大値 $\log 2$（1 ビット）を取ります。「2 値分布の中で最も予測困難」「最も分散が大きい」「最もエントロピーが高い」の 3 つの意味での「最大性」が同じ点 $p = 1/2$ で揃います。この対応は偶然ではなく、分散もエントロピーもともに「分布のばらつき」を測る量だという共通の背景から来ています。ベルヌーイ分布を通すと、確率論と情報理論がともに「ばらつき」を別の言葉で測っていることが見えてきます。

関連する用語

• 算術平均（ベルヌーイ確率変数の標本平均 $\bar{X} = S_n / n$ がそのまま成功確率 $p$ の推定値になります）
• 期待値（$E[X] = p$ という等式はベルヌーイ分布の中心的な結果で、指示変数 $I_A$ の期待値が確率 $P(A)$ に等しいという事実の最小例です）
• 中央値（ベルヌーイ分布では p &lt; 1/2 のとき中央値は $0$、p &gt; 1/2 のとき $1$ です。$p = 1/2$ のとき中央値は $0$ と $1$ のどちらでもよい不定の区間になります）
• 歪度（$p \neq 1/2$ のベルヌーイ分布は左右非対称で、歪度は $(1-2p)/\sqrt{p(1-p)}$ です。$p = 1/2$ でのみ歪度がゼロになります）

この用語を扱う本編記事

• stats-06: 期待値の線形性（ベルヌーイ確率変数を導入し、$n$ 個の和として二項分布を構成して $E[B(n,p)] = np$ を 2 行で導く節 6 を収録しています）