条件付き確率

条件付き確率（ $P(A \mid B)$ ）とは、事象 $B$ が起きたとわかったときに事象 $A$ も起きている割合です。

定義

「事象 $B$ が起きた」という情報を得たあと、確率の舞台全体を $B$ の範囲に絞り直します。その絞り直した空間の中で $A$ が占める割合が条件付き確率です。「 $B$ が起きたという前提で $A$ を測る」という操作を数式として固めたのが以下の定義です。

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0

分母の $P(B)$ は「 $B$ の縦帯」を 1 に正規化するための割り算です。 $P(B) > 0$ という制約は「面積 0 の縦帯では新しい舞台を作れない」という算術的な事実から来ています。分母が 0 になる条件、つまり「そもそも起きない事象」を条件にした条件付き確率は古典的な枠組みでは定義できません。

記号の読み方を整理します。縦棒 $\mid$ は「条件」の区切りで、右側が条件（わかっていること）、左側が知りたい事象です。 $A \cap B$ は「 $A$ と $B$ がともに起きる」同時確率、 $P(B)$ は「 $B$ がそもそも起きる」周辺確率です。 $P(A \mid B)$ を「 $A$ given $B$ 」と読むことがあります。

方向を取り違える誤解

$P(A \mid B)$ と $P(B \mid A)$ は一般に等しくありません。同じセル $A \cap B$ （同時確率）を、異なる分母 $P(B)$ と $P(A)$ でそれぞれ割るので、両者は分母次第で大きく食い違います。「検査が陽性のとき実際に病気である確率」と「病気のとき検査が陽性になる確率」が別物なのはこの非対称性によります。

性質

条件付き確率には以下の性質があります。

新しい確率測度になる: $P(\cdot \mid B)$ は $\Omega$ を $B$ に置き換えた空間で Kolmogorov の三公理（非負性・全確率 1・ $\sigma$ 加法性）をすべて満たします。 $B$ が「新しい標本空間」になったとみなせます。
方向は対称でない: 一般に $P(A \mid B) \ne P(B \mid A)$ 。同じ同時確率 $P(A \cap B)$ を、分母 $P(B)$ と分母 $P(A)$ という異なる量で割るため値が変わります。
$P(B) > 0$ が必須: 分母が 0 のときは未定義です。「起きていない事象」を条件にした条件付き確率は古典的確率論では存在しません。
独立性の判定基準: $P(A \mid B) = P(A)$ であることと、 $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ であることは同値です。

独立性を縦帯で読む

$P(A \mid B) = P(A)$ は「縦帯 $B$ を新しい全体として絞り直しても、 $A$ の割合が変わらない」状態です。 $B$ という情報が $A$ についての情報を何も運ばないことを、縦帯内での比率の不変として表しています。

視覚的に見る

1 枚の正方形（縦横ともに 1）で 6 面のサイコロを表します。事象 $B$ を「偶数の目が出る」 $B = \{2, 4, 6\}$ （ $P(B) = 1/2$ ）、事象 $A$ を「3 以下の目が出る」 $A = \{1, 2, 3\}$ （ $P(A) = 1/2$ ）と設定します。両方が起きる同時確率は $A \cap B = \{2\}$ の 1 目だけなので $P(A \cap B) = 1/6$ です。

左右の帯はそれぞれ3通りの目を含み、全体の半分を占めます。各帯をさらに3等分すると、1区画が1つの目（全体の $1/6$ ）に対応します。奇数の帯では「3以下」が2区画、偶数の帯では1区画です。

偶数の帯 $B$ を新しい全体として見ると、3つの区画のうち「3以下」は $\{2\}$ の1区画です。したがって $P(A \mid B) = 1/3$ 。元の全体に対しては、この1区画が $P(A \cap B)=1/6$ 、偶数の帯が $P(B)=1/2$ なので、定義式でも $\frac{1/6}{1/2}=1/3$ となります。

全体をどこに取るか

条件を付ける前は、全6区画のうち3区画が「3以下」で $P(A)=1/2$ 。偶数に絞ると、右の3区画のうち1区画が「3以下」で $P(A\mid B)=1/3$ です。面積はすべて確率に比例し、条件を付けても区画の大きさ自体は変わりません。

実世界での使われ方

条件付き確率は「追加情報を得たあとに確率を測り直す」場面で広く使われます。

医療検査の感度と特異度: 感度は「病気である（ $B$ ）という条件のもとで検査が陽性（ $A$ ）になる確率」 $P(\text{陽性} \mid \text{罹患})$ であり、特異度は「病気でない（ $B^c$ ）という条件のもとで検査が陰性になる確率」です。厚生労働省「がん検診の有効性評価」では感度・特異度がそのまま公開されており、いずれも条件付き確率として定義されています。なお「陽性が出たとき実際に罹患している確率」 $P(\text{罹患} \mid \text{陽性})$ は条件の向きが逆で、感度とは別の量です。
金融の信用リスクと条件付き損失分布: 過去 $N$ 日のうち市場が $-5\%$ を超えて下落した日（ $B$ ）という条件のもとで、特定銘柄が連動して下落する確率 $P(\text{銘柄急落} \mid \text{市場急落})$ は条件付き確率の直接の応用です。日本取引所グループ「株式市況統計」の日次収益率データを条件で絞り込んで推定します。無条件の相関だけでは見えない「テールリスク時の連動」を測るために条件付き確率の枠組みを使います。
機械学習の分類器: 特徴量 $X = x$ が観測されたという条件のもとでクラス $Y = c$ に属する確率 $P(Y = c \mid X = x)$ の推定が、教師あり学習の中心課題です。ロジスティック回帰はこの条件付き確率を直接モデル化し、Naive Bayes 分類器は $P(X = x \mid Y = c)$ と $P(Y = c)$ から乗法公式でこれを逆算します。どちらも条件付き確率の定義式から出発しています。

条件の方向を間違えないために

「 $A$ の確率が $B$ によって変わる」のが $P(A \mid B)$ 、「 $B$ の確率が $A$ によって変わる」のが $P(B \mid A)$ です。医療例で言えば前者は「陽性のとき罹患している確率」、後者は「罹患しているとき陽性が出る確率（感度）」です。定義式の分母が $P(B)$ か $P(A)$ かで方向が決まります。

深掘り

ここから先の連鎖律は L2（大卒文系）以上の発展で、用語の意味を押さえるだけなら読まなくてかまいません。

連鎖律（乗法公式の一般化）

2 事象の乗法公式 $P(A \cap B) = P(A \mid B) P(B)$ を 3 事象 $A$ 、 $B$ 、 $C$ に拡張すると連鎖律が得られます。

P(A \cap B \cap C) = P(A) \, P(B \mid A) \, P(C \mid A \cap B)

右辺の 3 因子は「 $A$ が起きる確率」「 $A$ が起きたもとで $B$ が起きる確率」「 $A$ と $B$ が両方起きたもとで $C$ が起きる確率」の積です。 $n$ 事象への一般化は帰納的に成立し、 $P(A_1 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \prod_{k=2}^{n} P(A_k \mid A_1 \cap \cdots \cap A_{k-1})$ と書けます。連鎖律の実用は、同時確率の計算を条件付き確率の積に分解して各因子を別々に推定できることにあります。

独立性との同値関係

2 事象 $A$ 、 $B$ が独立であるとは $P(A \mid B) = P(A)$ が成り立つことと同値です。これは「 $B$ という条件が $A$ についての情報を何も運ばない」状態を意味します。定義式の両辺に $P(B)$ を掛けると

P(A \mid B) = P(A) \iff P(A \cap B) = P(A) \, P(B)

が得られます。教科書でよく「独立の定義」として先に出る $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ は、「条件付けても確率が変わらない」という独立性の直感を乗法公式に書き直したものに過ぎません。

独立 = 縦帯を絞っても比率が変わらない

$B$ が全体の $P(B)$ を占め、 $A \cap B$ が $P(A) \times P(B)$ を占めるとき、縦帯内の $A$ の比率 $P(A \cap B)/P(B)$ がちょうど $P(A)$ に一致します。つまり独立性は「縦帯に絞り直しても $A$ の占める比が変わらない」という幾何的な主張と同じです。