stats-07 では「情報を受け取って確率を更新する」操作を扱いました。本記事が扱うのは「N 個の観測値を平均した結果がどう振る舞うか」です。コインを 10 回投げて表が 6 回出ても、10,000 回投げれば表の割合は 0.5 に張り付きます。この「大量に集めると秩序が生まれる」現象を数学的に保証するのが大数の法則 (LLN) と中心極限定理 (CLT) で、保険業界・モンテカルロ法・ポートフォリオ理論はすべてこの保証の上に立っています。
はじめに
本記事は Part 2「確率と期待値 」の最終回です。stats-05 で確率の基礎、stats-06 で期待値 、stats-07 でベイズ更新を扱い、本記事では「標本平均」という確率変数 の振る舞いに集中します。
Part 3 では標準誤差（stats-09）、信頼区間（stats-10）、仮説検定（stats-11）へ進みます。
コインを 100 回投げると表の割合はどう動くか
コインを 1 枚ずつ投げ続け、「これまでの表の回数 ÷ 投げた回数」を累積平均として記録していきます。下の表は 1 系列の実例です（seed=42 で固定した決定的な系列）。
投げた回数 n n n 累積表数 累積平均 1 0 0.0000 10 6 0.6000 50 25 0.5000 100 50 0.5000 200 103 0.5150 1000 480 0.4800 5000 2472 0.4944 10000 4990 0.4990
n = 1 n=1 n = 1 n = 10 n=10 n = 10 n = 100 n=100 n = 100 n = 1000 n=1000 n = 1000 n = 10000 n=10000 n = 10000
n n n 10 ≈ 3.2 \sqrt{10} \approx 3.2 10 ≈ 3.2
大数の法則: 標本平均は期待値 に確率収束する
コイン投げで表の割合が 0.5 に収束していくのは、「N 個のコイン表裏の平均が期待値 （0.5）に近づいていく」現象です。大数の弱法則 (Weak Law of Large Numbers, WLLN) はこれを一般的に保証します。
X 1 , X 2 , … , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X 1 , X 2 , … , X n 独立 同分布）で期待値 μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ 2
は n → ∞ n \to \infty n → ∞ μ \mu μ
です。→ p \xrightarrow{p} p X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n μ \mu μ ε \varepsilon ε
ε \varepsilon ε ε \varepsilon ε n n n
▶ 計算 Chebyshev の不等式を使った WLLN の証明概略 V [ X ˉ n ] = σ 2 / n V[\bar{X}_n] = \sigma^2/n V [ X ˉ n ] = σ 2 / n
を適用すると、右辺は n → ∞ n \to \infty n → ∞ ε \varepsilon ε
下の図は横軸を n n n X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n
コイン累積平均の収束（n=1 〜 10000） μ = 0.5 1 10 100 1,000 10,000 投げた回数 n（対数スケール） 0.0 0.3 0.5 0.8 1.0 累積平均 青い折れ線が累積平均 X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n μ = 0.5 \mu = 0.5 μ = 0.5 n n n n \sqrt{n} n
1 件あたりの損害額は平均 μ \mu μ σ = 300,000 \sigma = 300{,}000 σ = 300 , 000 N = 100,000 N = 100{,}000 N = 100 , 000
です。個別ではばらつき 300,000 円だったものが、10 万件集まると集団平均のばらつきは 948 円まで縮みます。保険会社が集団として成立するのはこの数字が根拠です。詳細な保険数理のシミュレーションは stats-practice-insurance-lln で扱います。
大数の弱法則（WLLN）を「LLN がある種の補正をしてくれる」と読むのは間違いです。
コインで 5 回連続で裏が出たとき、「次は表が来やすい」という直感が生まれます。しかし X 6 X_6 X 6 X 5 X_5 X 5 X 6 X_6 X 6 独立 した試行で、過去の結果を記憶しません。Tversky & Kahneman (1971) はこの誤信念を「ガンブラーの錯誤」として心理学的に分析し、人間が「小数の法則」を信じやすいことを示しました。
LLN には弱法則（WLLN、確率収束）と強法則（SLLN、概収束）の 2 種類があり、SLLN の方がより強い保証（全確率 1 での収束）を与えます。本記事では WLLN を扱い、SLLN の概収束の厳密議論は stats-supplement-lln-strong-vs-weak に委ねます。
中心極限定理: 標本平均の分布は正規分布に分布収束する
LLN は「X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n μ \mu μ X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n 形の分布 を持つか」です。
X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n n → ∞ n \to \infty n → ∞ μ \mu μ X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n V [ X ˉ n ] = σ 2 / n V[\bar{X}_n] = \sigma^2/n V [ X ˉ n ] = σ 2 / n 0 0 0 σ 2 \sigma^2 σ 2 n \sqrt{n} n n ( X ˉ n − μ ) \sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu) n ( X ˉ n − μ ) σ 2 \sigma^2 σ 2 n n n
「正しい拡大率」が n \sqrt{n} n
Lindeberg-Lévy の中心極限定理は次のように述べます。X 1 , X 2 , … , X n X_1, X_2, \ldots, X_n X 1 , X 2 , … , X n 期待値 μ \mu μ σ 2 < ∞ \sigma^2 < \infty σ 2 < ∞
両辺を σ \sigma σ
です。→ d \xrightarrow{d} d σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n
CLT の最も意外な主張は 「元の分布によらず」 という部分です。X i X_i X i X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n
下の図で確認します。元の分布を指数分布（rate=1）に固定し、n = 1 , 5 , 30 , 100 n=1, 5, 30, 100 n = 1 , 5 , 30 , 100
指数分布からの標本平均（n=1, 5, 30, 100） n=1 n=5 n=30 n=100 0 1 2 3 4 標本平均の値 0 1 2 3 4 密度 横軸は標本平均の値、縦軸はその標本平均が観測される頻度（密度）です。n = 1 n=1 n = 1 n = 5 n=5 n = 5 n = 30 n=30 n = 30 n = 100 n=100 n = 100 n = 1 n=1 n = 1 n = 100 n=100 n = 100 1 / n 1/\sqrt{n} 1/ n
「元の分布によらない」普遍性の背景として、多数の独立 な確率変数 の和の特性関数を解析すると極限で正規分布の特性関数に収束するという事実があります。詳細は補足記事（stats-supplement-clt-proof-sketch）で扱います。
n n n n ≥ 30 n \ge 30 n ≥ 30 n = 30 n=30 n = 30 n = 100 n=100 n = 100
CLT の主張は次の 3 条件が揃うことで成立します。
元の分布によらない : X i X_i X i 分布の形が収束する : 値（μ \mu μ X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n 分布全体の形 が正規分布に近づくn \sqrt{n} n X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n μ \mu μ n \sqrt{n} n この 3 条件が揃うことで、「身長も測定誤差も観測ノイズも正規分布に近い」という現実が説明できます。
LLN と CLT の違い: 中心への収束 vs 分布形の収束
LLN と CLT は同じ標本平均 X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n μ \mu μ
大数の弱法則 (LLN) 中心極限定理 (CLT) 主張 X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n μ \mu μ X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n 収束のタイプ 確率収束 → p \xrightarrow{p} p 分布収束 → d \xrightarrow{d} d 見ているもの 1 系列の X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n 多数系列を集めた X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n n n n X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n μ \mu μ ヒストグラムの形が釣り鐘型に近づく 必要な条件 i.i.d. + 有限分散（本稿の Chebyshev 証明）※有限期待値 だけの弱い形もある i.i.d. + 有限分散 金融応用 保険の集団損害管理、長期投資 VaR 計算、信頼区間構築
LLN は X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n μ \mu μ X ˉ n ≈ N ( μ , σ 2 / n ) \bar{X}_n \approx N(\mu, \sigma^2/n) X ˉ n ≈ N ( μ , σ 2 / n ) k k k
コイン 100 回投げで n = 100 n=100 n = 100 X ˉ 100 \bar{X}_{100} X ˉ 100 X ˉ 100 \bar{X}_{100} X ˉ 100 X ˉ 100 ≈ N ( 0.5 , 0.0025 ) \bar{X}_{100} \approx N(0.5, 0.0025) X ˉ 100 ≈ N ( 0.5 , 0.0025 ) P ( ∣ X ˉ 100 − 0.5 ∣ ≥ 0.06 ) = P ( ∣ Z ∣ ≥ 1.2 ) ≈ 23 % P(|\bar{X}_{100} - 0.5| \ge 0.06) = P(|Z| \ge 1.2) \approx 23\% P ( ∣ X ˉ 100 − 0.5∣ ≥ 0.06 ) = P ( ∣ Z ∣ ≥ 1.2 ) ≈ 23%
保険の例に戻ると、LLN だけでは「10 万件集めれば集団損害の平均が安定する」までしか言えません。CLT があって初めて、SE ≈ 948 円が ± 1 σ \pm 1\sigma ± 1 σ ± 2 σ = ± 1,896 \pm 2\sigma = \pm 1{,}896 ± 2 σ = ± 1 , 896
この相補性は Part 3 全体の構造を決めます。stats-09 で標準誤差 σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n X ˉ n ± z σ / n \bar{X}_n \pm z\sigma/\sqrt{n} X ˉ n ± z σ / n X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n μ \mu μ
LLN は個別試行を「補正」するのではなく平均の収束を保証します。1 回 1 回の試行は独立 のままで、過去の結果を記憶しません。コインを 5 回連続で裏が出た後でも、次の表の確率は 0.5 のままです。
LLN は X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n
ばらつきの縮み方: 1 / n 1/\sqrt{n} 1/ n
標本平均の標準偏差は σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n n n n
この式は分散加法性（stats-02 で扱った和の分散）から 2 行で導けます。X 1 , … , X n X_1, \ldots, X_n X 1 , … , X n σ 2 \sigma^2 σ 2
X ˉ n = ( 1 / n ) ∑ X i \bar{X}_n = (1/n) \sum X_i X ˉ n = ( 1/ n ) ∑ X i 1 / n 1/n 1/ n
標準偏差は
コイン投げ（σ 2 = 0.25 \sigma^2 = 0.25 σ 2 = 0.25 σ = 0.5 \sigma = 0.5 σ = 0.5 n = 100 n=100 n = 100 SD ( X ˉ 100 ) = 0.5 / 100 = 0.05 \text{SD}(\bar{X}_{100}) = 0.5/\sqrt{100} = 0.05 SD ( X ˉ 100 ) = 0.5/ 100 = 0.05 X ˉ 100 ≈ N ( 0.5 , 0.0025 ) \bar{X}_{100} \approx N(0.5, 0.0025) X ˉ 100 ≈ N ( 0.5 , 0.0025 )
モンテカルロ法では 1 / N 1/\sqrt{N} 1/ N S = 100 , K = 100 , r = 5 % , σ = 20 % , T = 1 S=100, K=100, r=5\%, \sigma=20\%, T=1 S = 100 , K = 100 , r = 5% , σ = 20% , T = 1 N = 1,000 N=1{,}000 N = 1 , 000 SE ≈ 0.47 \text{SE} \approx 0.47 SE ≈ 0.47 N = 100,000 N=100{,}000 N = 100 , 000 SE ≈ 0.047 \text{SE} \approx 0.047 SE ≈ 0.047 N N N stats-practice-monte-carlo で扱います。
この σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n 1 / n 1/\sqrt{n} 1/ n
CLT が成り立たない場面: 前提が崩れると何が壊れるか
ここは日次リターンの金融慣習表記を使う節で、節 6 までの累積平均・小数表記とは別の量を扱います。Lindeberg-Lévy CLT は「i.i.d. + 有限分散」の両方を要求します。どちらが崩れても破綻します。1987 年 10 月 19 日、S&P500 は 1 日で -20.5% 下落しました（ブラックマンデー）。クラッシュ前の日次リターン標準偏差は 0.809% で、この下落は 20.5 ÷ 0.809 ≈ 約 25σ イベントに相当します。正規分布仮定では事実上ゼロ確率です。
Cauchy 分布の反例 。stats-06 節 9 で「Cauchy 分布の期待値 は存在しない」と述べました。その理由を特性関数で確認します。標準 Cauchy 分布の特性関数は φ ( t ) = e − ∣ t ∣ \varphi(t) = e^{-|t|} φ ( t ) = e − ∣ t ∣ n n n ( e − ∣ t ∣ ) n = e − n ∣ t ∣ (e^{-|t|})^n = e^{-n|t|} ( e − ∣ t ∣ ) n = e − n ∣ t ∣ X ˉ n = ( 1 / n ) ∑ X i \bar{X}_n = (1/n)\sum X_i X ˉ n = ( 1/ n ) ∑ X i e − n ∣ t / n ∣ = e − ∣ t ∣ e^{-n|t/n|} = e^{-|t|} e − n ∣ t / n ∣ = e − ∣ t ∣ n n n X ˉ n \bar{X}_n X ˉ n
実務で CLT が崩れる状況は次の通りです。
有限分散の崩壊（Cauchy・べき分布） : 分散が無限大または未定義なとき、通常の CLT（n \sqrt{n} n 。ただし LLN と CLT を混同しないこと。平均が有限なべき分布（例: Pareto 形状 α = 1.5 \alpha=1.5 α = 1.5 ∞ \infty ∞ fat tail の問題（株式リターン） : 分散は有限だが正規分布より裾が太い（t 分布的）。CLT は形式上成立しますが収束が極めて遅く、VaR を正規分布で計算すると極端な下落の確率を著しく過小評価します。ブラックマンデー S&P500 -20.5% はその典型例です依存の強まり（金融危機） : 資産間に強い共通因子があると、銘柄数を増やしてもポートフォリオ分散はゼロへ近づきません。危機時の相関上昇は、独立性 を仮定した単純な分散化では捉えられないこの限界を顕在化させます。1998年のロシア国債デフォルト後、LTCMは深刻な損失と無秩序清算の危機に陥り、民間コンソーシアムにより再資本化されました。LTCM自身がデフォルトした事例ではありません（Federal Reserve Bank of New Yorkの説明 ） 安定分布や CLT が成り立たない分布の詳細は stats-supplement-stable-distributions で扱います。
ガウス分布が世界に偏在する理由
身長・測定誤差・観測ノイズが正規分布に近い形を示す根本理由は CLT です。それらが「多数の独立 な要因の和」だからです。
身長を例にとると、「遺伝子座の効果 × 数百個 + 環境要因 × 数十個」の和として身長が決まります（遺伝的な面では数百の独立 な遺伝子座が各々に少しずつ寄与する、という多遺伝子モデル）。測定誤差は「温度変動・機械の振動・読み取り誤差」などランダムな小さな擾乱の和です。それぞれの要因が独立 で有限分散を持つとき、CLT が正規分布への収束を保証します。Francis Galton が 1889 年の著書 Natural Inheritance で示した「Galton ボード」（quincunx；王立研究所での公開実演は 1877 年頃）は多数の独立 なバイナリ分岐の和が正規分布に収束する様子を物理的に示す装置で、CLT の視覚的デモとして現代でも使われています。
正規分布が「和の分布」であることを踏まえると、分布の種類は生成メカニズムで分類できます。
和が支配 : 正規分布（独立 な多数の要因の加算的合成）積が支配 : 対数正規分布（株価の複利成長、細菌の増殖）1 要因が支配 : べき分布（地震規模・所得・都市人口）
株式収益率の長期分布、地震規模の分布、所得分布は有限分散の仮定を満たさないか独立性 が崩れているため、正規分布では近似できません。「和なら正規」が成り立つのは独立 ・有限分散の条件が満たされる場合に限られます。安定分布の詳細は stats-supplement-stable-distributions で扱います。
CLT 収束のデモ（静的版）
下の図は指数分布（rate=1）を元の分布に固定し、n = 30 n=30 n = 30
CLT 収束デモ（指数分布 rate=1、n=30） シミュレーション (n=30) 正規分布近似 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 標本平均の値 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 密度 青い実線が指数分布（rate=1）から n = 30 n=30 n = 30 N ( 1.0 , 0.1826 2 ) N(1.0, 0.1826^2) N ( 1.0 , 0.182 6 2 ) n = 30 n=30 n = 30 n n n n n n n \sqrt{n} n
上の静的版は母分布も n n n n n n N ( μ , σ 2 / n ) N(\mu, \sigma^2/n) N ( μ , σ 2 / n ) n n n
触って確かめる：母分布が何であれ、標本平均は正規分布に近づく 母分布 指数 · 標本サイズ n=30 · 試行 0
触って確かめる：母分布が何であれ、標本平均は正規分布に近づく 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 標本平均の値 母分布（指数）から n=30 個を引いて平均する、を繰り返す。n を大きくするほどヒストグラムは赤い理論正規曲線 N(μ, σ²/n) に重なり、横幅は σ/√n で縮む。母分布の形によらないのが中心極限定理の核心。
母平均 μ 1.000
理論 SE = σ/√n 0.183
実測 SD（標本平均） — 金融現場での使われ方 / 次に学ぶこと
LLN と CLT が金融現場に登場する場面を示します。保険会社の集団損害管理（節 3 で確認）、ポートフォリオ理論での CLT（多数の独立 な銘柄の収益率の平均は正規分布に近づくという前提、ただし節 7 の限界を忘れてはなりません）、モンテカルロ法でのオプション価格計算（1 / N 1/\sqrt{N} 1/ N stats-practice-portfolio-clt と stats-practice-monte-carlo で扱います。
stats-09 では σ / n \sigma/\sqrt{n} σ / n
