#central-limit-theorem

大数法則と中心極限定理

コインを 100 回投げて表がちょうど 50 回でも、それは偶然の一致にすぎません。10,000 回投げれば表の割合は 0.5 のすぐ近くまで安定します。大数の法則 (LLN) は標本平均が母平均に確率収束することを、中心極限定理 (CLT) は標本平均の分布が元の分布によらず正規分布に近づくことを保証します。両者は同じ標本平均についての別方向の主張で、LLN は中心への収束、CLT は分布形の収束です。ばらつきがサンプル数の平方根に反比例して縮む構造が Part 3（標本誤差・信頼区間・検定）の土台になります。LLN には有限期待値、通常の CLT には有限分散が必要です。平均が未定義の Cauchy では両方が崩れ、有限平均・無限分散では LLN は成立しても通常の CLT は崩れます。独立性の崩壊にも別途注意が必要です。