Schanuel 予想 （シャヌエル予想、1960 年代に Stephen Schanuel が提出）は超越数論の中心的な未解決問題の一つです。
複素数 z 1 , … , z n z_1, \ldots, z_n z 1 , … , z n Q \mathbb{Q} Q 独立 であるならば、
の超越次数は少なくとも n n n
言い換えると、z 1 , … , z n , e z 1 , … , e z n z_1, \ldots, z_n, e^{z_1}, \ldots, e^{z_n} z 1 , … , z n , e z 1 , … , e z n 2 n 2n 2 n n n n Q \mathbb{Q} Q 独立 である、ということ。
未解決 : 提出から 60 年以上経つが、現在も完全な証明は得られていない強力な仮説 : 仮定すると、指数関数を含む数の代数的独立性 について多くの条件付き帰結が得られる関数版との関係 : 数に対する予想は未解決だが、指数関数については関数・微分体側で対応する類似定理が証明されている数値照合とは別 : Schanuel 予想を仮定しても、有限精度での一点の一致が証明になるわけではない
各数を近似実数値に対応する横位置に置き、分類を色で示した図です。青は代数的数（1 1 1 2 \sqrt{2} 2 e e e π \pi π γ \gamma γ 独立性 を表しておらず、e e e π \pi π 独立性 は現在も未解決です。γ \gamma γ
実数の近似値と分類: 代数的数・超越数・分類未定 1 √2 γ ≈ 0.577 e ≈ 2.718 π ≈ 3.142 代数的数 超越数 0 1 2 3 4 実数 横位置は各数の近似実数値を表し、青の 2 点（1 1 1 2 \sqrt{2} 2 e e e π \pi π γ \gamma γ γ \gamma γ 独立性 を符号化していないため、e e e π \pi π 独立性 は図からは読めず、現在も未解決です。e e e π \pi π e + π e + \pi e + π e π e \pi e π e e e π \pi π 独立性 が導かれ、これらの問いにも条件付きの答えが得られます。
Schanuel 予想は純粋数学の予想で、主に「この予想を仮定したとき何が導けるか」という条件付き定理の基礎として参照されます。
実指数体の理論 : Schanuel 予想を仮定した条件付きの決定可能性結果があります。ただしこれは、有限精度の数値サンプルだけで式の等価性を判定する手続きではありません。関数・微分体との接続 : James Axは1971年、指数関数についてSchanuel予想に対応する関数・微分体側の類似定理を証明しました。これは複素数の定数に対する元の予想を証明したものではありません。計算機による候補探索 : EML論文は数値を候補式のheuristicなふるいに使いますが、候補の検証を記号計算などの別工程に分けています。
Schanuel から導かれる代表的な結果
Schanuel 予想を仮定すると、超越数論の多くの未解決問題が解決します。
e e e π \pi π 独立性 z 1 = 1 z_1 = 1 z 1 = 1 z 2 = i π z_2 = i\pi z 2 = iπ Q \mathbb{Q} Q 独立 （i π i\pi iπ 1 1 1 1 , i π , e , e i π = − 1 1, i\pi, e, e^{i\pi} = -1 1 , iπ , e , e iπ = − 1 独立 。1 , − 1 1, -1 1 , − 1 i π i\pi iπ e e e 独立 。これより e + π e + \pi e + π e π e \pi e π π \pi π e π e^\pi e π 独立性 e π e^\pi e π e e e^e e e e e 2 e^{e^2} e e 2 e e e e^{e^e} e e e Lindemann-Weierstrass の拡張 : 代数的数 α 1 , … , α n \alpha_1, \ldots, \alpha_n α 1 , … , α n 独立 なら、e α 1 , … , e α n e^{\alpha_1}, \ldots, e^{\alpha_n} e α 1 , … , e α n 独立 （Schanuel の特殊形）
指数関数についてのAxの定理
James Axは1971年、指数関数について、Schanuel予想に対応する関数・微分体側の類似定理を証明しました。これはしばしばAx–Schanuel型の結果と呼ばれますが、複素数の定数に対する未解決のSchanuel予想を証明したものではありません。厳密な主張には定数体、微分関係、線形独立性 などの条件が必要なので、ここでは「数の予想に対応する関数版の定理」という関係だけを押さえます（Ax, Annals of Mathematics 1971 ）。
数値検証への応用
有限精度の数値照合は、候補のふるい、反例探索、回帰確認には役立ちますが、それだけで関数恒等式の証明にはなりません。Schanuel予想は確率命題ではなく、固定したprobeについて「偶然一致の確率ゼロ」を与えるものでもありません。
Andrzej Odrzywołekの2026年EML論文では、式候補へ複数の定数を代入した数値がheuristic sieveに使われます。検査用の値（probe）の一つであるEuler–Mascheroni定数γ \gamma γ 独立 な超越定数ではありません。論文は数値による候補発見と、記号計算などによる独立 検証を別工程として扱っています。
なし（用語集に既存の代数・解析の概念用語は本記事と直接の親子関係を持たない）
Academy: EML Sheffer 演算子 — 数値による候補探索と独立 検証を分けた事例Lang, S. Introduction to Transcendental Numbers . Addison-Wesley, 1966.
Marker, D. Model Theory of Differential Fields , Lecture Notes in Logic 5, 1996.
Ax, J. On Schanuel's Conjectures . Annals of Mathematics 93 (1971), 252–268: https://doi.org/10.2307/1970774
Nesterenko, Yu. V. Modular functions and transcendence questions . Sbornik: Mathematics 187 (1996), 1319–1348: https://doi.org/10.4213/sm158